Question

（2012•韶关二模）定义符号函数sgnx=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，设f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=x+

1

2

，f₂（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  3

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：分三种情况讨论：当x=

1

2

时，则符号函数的定义结合已知函数表达式，得到f（x）=

5

4

-

1

2

x，代入x=

1

2

，得f（

1

2

）=1；当x＞

1

2

时，同理得到f（x）=f₂（x）=2（1-x），在区间（

1

2

，+∞）内是减函数，得到f（x）＜1恒成立；当x＜

1

2

时，f（x）=f₁（x）=x+

1

2

，在区间（-∞，

1

2

）内是增函数，所以f（x）＜1恒成立．综合可得f（x）的最大值等于1，得到正确选项．

解答：解：①当x=

1

2

时，sgn(x-

1

2

)=sgn(

1

2

-x)=0，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=

1

2

f₁（x）+

1

2

f₂（x），
∵f₁（x）=x+

1

2

，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=

1

2

x+

1

4

+（1-x）=

5

4

-

1

2

x
代入x=

1

2

，得f（

1

2

）=1；
②当x＞

1

2

时，sgn(x-

1

2

)=1，sgn(

1

2

-x)=-1，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=f₂（x）
∴f（x）=2（1-x），在区间（

1

2

，+∞）内是减函数，所以f（x）＜2（1-

1

2

）=1恒成立；
③当x＜

1

2

时，sgn(x-

1

2

)=-1，sgn(

1

2

-x)=1，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=f₁（x），
∴f（x）=x+

1

2

，在区间（-∞，

1

2

）内是增函数，所以f（x）＜

1

2

+

1

2

=1恒成立．
综上所述，则f（x）的最大值等于1．
故选B

点评：本题给出一个含有符号函数的综合式为例，以求函数的最大值为载体，考查了函数的单调性与最值等知识点，属于中档题．