Question

【题目】如图，四棱柱，底面为等腰梯形，；，侧面底面.

（1）在侧面中能否作一条直线使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；

（2）求四面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）不能，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）假设在侧面中存在线段满足条件，得到平面，利用线面平行的性质定理，证得，得出矛盾，即可求解；

（2）取中点，连接，，分别证得平面和平面，进而证得平面，得到四棱柱的高为，结合体积公式，即可求解.

（1）不能做出这样的直线段，

理由如下：假设在侧面中存在线段满足条件，

则由于平面，可得平面，

因为平面，平面平面，所以，

这与等腰梯形中，矛盾，所以假设错误，

即侧面中不存在满足条件的直线段.

（2）取中点，连接，，

因为，，可得为等边三角形，

所以，.

因为，平面，平面，

所以平面，

同理可证平面.

又因为，，平面，所以平面平面，

因为平面平面，所以平面平面，且交线为，

可得平面，即四棱柱的高为，

则，，

，，

所以

.