Question

已知在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²-c²=-ab，且向量

n

=（b，-a）与

m

=（cosA，cosB）互相垂直．
（1） 求角A，B，C的大小；
（2）若函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x-

C

2

），求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理表示出cosC，把已知的a²+b²-c²=-ab代入即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，然后根据两向量垂直时其数量积为0，得到一个关系式，利用正弦定理及两角差的正弦函数公式化简后，得到B与A相等，再根据三角形的内角和定理即可求出B和C的度数；
（2）把（1）中求出的A和C的度数代入f（x），利用诱导公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调递增区间即可得到f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由a²+b²-c²=-ab，
得到：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

-ab

2ab

=-

1

2

，又C∈（0，π），
所以C=

2π

3

，又

n ⊥ m

，得到

n

•

m

=bcosA-acosB=0，
根据正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB=0，即sin（B-A）=0，
得到B=A=

π

6

；
（2）把（1）中求出的A=

π

6

，C=

2π

3

代入得：
f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos（2x-

π

3

）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[Kπ--

π

3

，Kπ+

π

6

]（K∈Z）

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及两角差的正弦函数公式化简求值，掌握平面向量的数量积的运算法则及正弦函数的单调区间，是一道中档题．