Question

（1）已知a，b＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）求证：

3

+

7

＜2

5

．

Answer 1

分析：（1）由b²+c²≥2bc，a＞0，证得 a（b²+c²）≥2abc，同理可证 b（c²+a²）≥2abc，相乘即可得到要证的结论．
（2）直接法利用分析法进行证明．

解答：证明：（1）∵b²+c²≥2bc，a＞0，∴a（b²+c²）≥2abc．
又∵c²+a²≥2ac，b＞0，∴b（c²+a²）≥2abc．
∴a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）∵

3

+

7

和2

5

都是正数，
要证

3

+

7

＜2

5

只需证(

3

+

7

)2＜(2

5

)2
整理得：

21

＜5
即证：21＜25
∵21＜25显然成立
∴原不等式成立

点评：本题（1）考查用综合法证明不等式，证明a（b²+c²）≥2abc，是解题的关键．（2）考查分析法证明不等式，重视分析法的证明步骤．