Question

3．已知正数a，b的等比中项是2，且m=b+$\frac{1}{a}$，n=a+$\frac{1}{b}$，则m+n的最小值是5．

Answer 1

分析 由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4，m+n=b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}{b}$，利用基本不等式求解．

解答 解：由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4，
∵m=b+$\frac{1}{a}$，n=a+$\frac{1}{b}$，
∴m+n=b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}{b}$．
由ab=4，那么b=$\frac{4}{a}$
∴b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}{b}$=$\frac{4}{a}+\frac{1}{a}+a+\frac{a}{4}=\frac{5a}{4}+\frac{5}{a}≥2\sqrt{\frac{5a}{4}•\frac{5}{a}}=5$，当且仅当a=2时取等号．
所以m+n的最小值是5．
故答案为：5．

点评 本题考查了“消元法”与基本不等式的性质，属于基础题．