Question

13．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=1-e^x．（a为常数，其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥0时，函数f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，并求出单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，转化为f（x）≥g（x）在x≥0时恒成立，根据不等式ln（x+1）-ax≥1-e^x，变形为ln（x+1）+e^x≥1+ax在x≥0时恒成立；讨论a的值，结合函数图象与导数的几何意义，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ln（x+1）-ax，x＞-1；
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，
当a≤0时，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a＞0，
f（x）在定义域（-1，+∞）上是单调增函数；
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$-1，
∴x∈（-1，$\frac{1}{a}$-1）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，
x∈（$\frac{1}{a}$-1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
综上，a≤0时，f（x）的单调增区间是（-1，+∞），
a＞0时，f（x）的单调增区间是（-1，$\frac{1}{a}$-1），单调减区间是（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
（Ⅱ）x≥0时，函数f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，
即f（x）≥g（x）在x≥0时恒成立，
即ln（x+1）-ax≥1-e^x在x≥0时恒成立，
ln（x+1）+e^x≥1+ax在x≥0时恒成立；
设y₁=ln（x+1）+e^x，y₂=1+ax，其中x＞0，
则a≤0时，函数y₁的图象在函数y₂的图象的上方，其中x＞0，
上述不等式恒成立；
a＞0时，直线的斜率a≤$\frac{1}{x+1}$+e^x，
且x=0时，h（x）=$\frac{1}{x+1}$+e^x取得最小值2，∴0＜a≤2；
综上，实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了函数导数的综合应用问题，也考查了不等式的恒成立以及转化法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．