Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+sinx\\-{x^2}+cos（x+α）\end{array}\right.$$\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（　　）

• A． 0
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． $\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 根据奇函数的性质建立关系式求解．

解答 解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（-x）+f（x）=0，
不妨设x＜0，则-x＞0．
则有：f（x）=-x²+cos（x+α），
f（-x）=x²-sinx
那么：-x²+cos（x+α）+x²-sinx=0
解得：$α=-\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）
∵α∈[0，2π）
∴α=$\frac{3π}{2}$
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性的性质和诱导公式进行对三角函数的化简的能力．属于中档题．