Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a=3，求f（x）的极值；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=3，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，求导，根据导数的符号判断函数的单调性，根据函数的单调性求得函数f（x）的极值；
（2）求导，f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x}$，令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间，根根函数的单调性分别求得f（x）在区间[1，2]上的最小值．．

解答 解：（1）当a=3，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，（x＞0），
∵f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-3x+2}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x=2或x=1，
当f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，当f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	单调递增	$\frac{5}{2}$	单调递减	2ln2-4	单调递增

∴当x=1时，f（x）取极大值，极大值为：$\frac{5}{2}$，当x=2时，f（x）取极小值，极小值为：2ln2-4；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，（x＞0），f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x}$，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．
①若a-1=1，即a=2时，f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
故f（x）在（0，+∞）单调递增，
f（x）在区间[1，2]上的最小值f（1）=-$\frac{3}{2}$；
②若0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，
由f′（x）＜0得，a-1＜x＜1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜a-1或x＞1．
故f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增，
f（x）在区间[1，2]上的最小值f（1）=$\frac{1}{2}$-a；
③若a-1＞1，即a＞2时，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；由f′（x）＞0得，0＜x＜1或x＞a-1，
故f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增，
当a-1＜2，即a＜3时，
f（x）在区间[1，2]上的最小值f（1-a）=$\frac{1}{2}$（1-a²）+（a-1）ln（a-1）=（1-a）[1+a-ln（a-1）]；
当a-1＞2，即a＞3时，
f（x）在区间[1，2]上的最小值f（2）=（2-ln2）（1-a），
综上可得，当1＜a＜2时，f（x）在区间[1，2]上的最小值$\frac{1}{2}$-a；当a=2时，在区间[1，2]上的最小值$\frac{1}{2}$-a；
当2＜a＜3时，在区间[1，2]上的最小值（1-a）[1+a-ln（a-1）]；当a＞3时，（2-ln2）（1-a）．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查利用导数法求函数的单调性及极值，利用函数单调性求闭区间上的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，属于难题．