Question

17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知bcosB是acosC与ccosA的等差中项．
（1）确定角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{3}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理和三角函数公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，由三角形内角的范围可得B值．
（2）由已知利用三角形面积公式可求ac，利用余弦定理及平方和公式即可计算a+c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）=sinB，
又∵sinB＞0，上式两边同除以sinB可得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$b=\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，①
又∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$a×$c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ac=3，②
∴由①②联立可得：a+c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．