Question

9．设函数f（x）=ax²+e^x（a∈R）有且仅有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．

Answer 1

分析 求函数f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，从而求出满足条件的参数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=ax²+e^x，a∈R，
∴f′（x）=2ax+e^x，
显然a≠0，x₁，x₂是直线y=-$\frac{1}{2a}$与曲线y=g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$两交点的横坐标，
由g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=0，得x=1，
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	g（x）max=$\frac{1}{e}$	↘

此外注意到：
当x＜0时，g（x）＜0；
当x∈[0，1]及x∈（1，+∞）时，g（x）的取值范围分别为[0，$\frac{1}{e}$]和（0，$\frac{1}{e}$）；
于是题设等价于0＜-$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{e}$，
解得a＜-$\frac{e}{2}$，
即实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{e}{2}$）．
故答案为：$（{-∞，-\frac{e}{2}}）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性问题，解题时应注意导数的正负对应着函数的单调性，是综合性题目．