Question

3．已知E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点．
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）若AC与BD相互垂直，BD=2，AC=4，求EG²+HF²；
（3）若$EG=\sqrt{7}，BD=2，AC=4$，求直线BD与AC的夹角．

Answer 1

分析 （1）如图所示，E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，利用三角形中位线定理可得：EF∥GH，即可证明E，F，G，H四点共面．
（2）由AC=4，EF=2；同理可得：EH=1．可得四边形EFGH为矩形．利用勾股定理即可得出：EG²+HF²．
（3）由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．利用余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，∵E，F，G，H依次为空间四边形ABCD各边的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
∴E，F，G，H四点共面．
（2）解：∵AC=4，∴EF=2；同理可得：EH=1．
又AC⊥BD，∴EF⊥EH，
可得四边形EFGH为矩形．
∴EG²+HF²=2×（2²+1²）=10．
（3）解：由（1）可知：∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角．
cos∠EFG=$\frac{{2}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}{2×2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BD与AC的夹角为60^°．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、平行四边形与矩形的性质、三角形中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．