Question

14．2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．

空气质量指数	（0，35]	（35，75]	（75，115]	（115，150]	（150，250]	＞250
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
甲区天数	13	20	42	20	3	2
乙区天数	8	32	40	16	2	2

（Ⅰ）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；
（Ⅱ）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．在（Ⅰ）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）利用古典概率计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．利用相互独立事件概率计算公式及其分布列、数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）甲区通过监测的概率约为$\frac{42+20+13}{100}=\frac{3}{4}$．
乙区通过监测的概率约为$\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）随机变量X的所有取值为90，45，30，-15．
$P（X=90）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$；$P（X=45）=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5}$；$P（X=30）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$；$P（X=-15）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$；
∴随机变量X的分布列为：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴$EX=90×\frac{3}{5}+45×\frac{1}{5}+30×\frac{3}{20}-15×\frac{1}{20}=66\frac{3}{4}$（百万元）．

点评 本题考查了古典概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式及其分布列、数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．