Question

11．（1）求焦点在x轴上，$c=\sqrt{6}$且经过点（-5，2）的双曲线的标准方程．
（2）已知双曲线上两点P₁，P₂的坐标分别为$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求双曲线的方程；
（2）设双曲线方程为：mx²-ny²=1，（mn＞0），结合点$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$在双曲线上，可得关于m与n的方程组，求出m与n的值即可得到答案．

解答 解：（1）由题意设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{6-{a}^{2}}=1$，
把点（-5，2）代入可得$\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{6-{a}^{2}}=1$，
解得a²=5，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-{y}^{2}=1$；
（2）设所求双曲线方程为：mx²-ny²=1，（mn＞0），
∵点$（3，-4\sqrt{2}），（\frac{9}{4}，5）$在双曲线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m-32n=1}\\{\frac{81}{16}m-25n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{9}}\\{n=-\frac{1}{16}}\end{array}\right.$，
故所求双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查利用待定系数法求双曲线的方程，考查学生的计算能力，是基础题．