Question

3．在约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+2y≤4\\ x-y≤1\\ x+2≥0\end{array}\right.$下，
（1）求函数z=3x-y的最小值；
（2）若3x-y-m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）画出约束条件表示的可行域，平移目标函数，判断目标函数取得最小值的位置求解即可．
（2）转化不等式，利用目标函数的最大值，求解即可．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：

作动直线l：z=3x-y
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y=4\\ x+2=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3\end{array}\right.$，
即A（-2，3），
平移直线y=3x-z由图象可知当动直线l：y=3x-z经过点A时，直线l在y轴上的截距最大，此时z最小．
∴z_min=3×（-2）-3=-9．
（2）3x-y-m≤0恒成立可得3x-y≤m恒成立，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，可得C（2，1）．
平移直线y=3x-z由图象可知当动直线l：y=3x-z经过点C时，
直线l在y轴上的截距最小，此时z最大．
∴z_max=3×2-1=5，
∴m的取值范围为m≥5

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．