Question

【题目】已知是边长为2的正三角形，是等腰直角三角形.把沿其斜边翻折到，使，设为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）取中点，由勾股定理可得，又是等腰直角三角形，可证，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；

（2）方法一：由（1）知，、、两两垂直，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，即可求出结果；

解法二：等积法

在和中，分别用余弦定理得：中线长， ，又勾股定理可证①；在中解得，在平面内过作②，由等积法得，于是.由①②得、所成的角（或其补角）就是二面角的平面角，再根据余弦定理即可求出结果.

（1）证明：取中点，连、，由已知易得，，于是，从而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以平面，于是平面平面；

（2）由（1）知，、、两两垂直，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，由已知得，，，，.于是，，，，设平面的法向量是，则解得，

所以，同理平面的法向量，

设二面角为，则.

（2）解法二：等积法

由于为的中点，且设，在和中，分别用余弦定理得：中线长，同理，从而是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面内过作②，由等积法得，于是.由①②得、所成的角（或其补角）就是二面角的平面角.由，得，设二面角的度数为，于是.