Question

【题目】如图，在四棱锥C﹣ABNM中，四边形ABNM的边长均为2，△ABC为正三角形，MB，MB⊥NC，E，F分别为MN，AC中点．

（Ⅰ）证明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直线EF与平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）连接AN，由题意可得，结合，利用线面垂直的判定可得平面，利用线面垂直的性质即可得证；

（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，证明MG与EF相交，记交点为O，则O为MG与EF的中点．则直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ．由已知求解三角形可得OF，记F到平面MBC的距离为h，利用等体积法求得h，则，即可得解.

（Ⅰ）证明：连接AN，∵四边形ABNM的边长均为2，∴，

∵，且，∴平面，

∵平面，∴；

（Ⅱ）取BC的中点G，连接FG，NG，MG，

显然，且，即，，

∴MG与EF相交，

记交点为O，则O为MG与EF的中点．

∴直线EF与平面MBC所成角，就是FO与平面MBC所成角，记为θ,

由（Ⅰ）知，又为正三角形，∴，且．

∵，∴平面MBF，而平面MBF，

则，得，，

∵，，∴，，

∴平面ABC，又平面ABC ，，

∴，可得．

∴，

记F到平面MBC的距离为h，

在中，∵，，∴，

∴，得．

故.

所以直线EF与平面MBC所成角的正弦值为.