Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数在区间上的单调性；

（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当或时， 在上单调递增，当时， 在上单调递增，在上单调递减；(2) .

【解析】试题分析：（1）求出，讨论三种情况， ， ，分别令可得增区间， 可得减区间；（2）对任意，有等价于 ，分别利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值与的最小值，解不等式即可求得实数的取值范围.

试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时， 时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减

（2），依题意，时，恒成立.已知，则当时，，在上单调递减，而在上单调递增，，

，得，当时，，与在上均单调递增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是.