Question

已知下列四个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，其体积缩小到原来的

1

4

；
②若两组数据的标准差相等，则它们的平均数也相等；
③直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切；
④“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、①③
• D、②③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用圆锥的体积公式，可得结论；
②若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等；
③求出圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“lga≥lgb”，反过来，“lga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”．

解答： 解：①一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1

2

，则圆锥的底面积就缩小到原来的

1

4

，
又由体积公式得到圆锥的体积为V=

1

3

×底面积×高，
根据积的变化规律可得，体积缩小到原来的

1

4

，故①正确；
②若两组数据的中位数相等，根据平均数的计算公式，它们的平均数不一定相等，故②不正确；
③∵圆心到直线的距离为d=

|1|

1+1

=

2

2

=r，
∴直线x+y+1=0与圆x²+y²=

1

2

相切，故③正确；
④“10^a≥10^b”，可以得出a≥b，不可以得出“lga≥lgb”，
反过来，“lga≥lgb”，可得a≥b＞0，∴“10^a≥10^b”，
则“10^a≥10^b”，是“lga≥lgb”的必要不充分条件，故④不正确；
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断，考查直线与圆的位置关系，综合性强．