Question

已知函数f（x）=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g（x）=

x 1 3 +x- 1 3

5

．
（1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间；
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．
（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，根据条件进行归纳即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，
则f（x）=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=-

x 1 3 -x- 1 3

5

=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
当x＞0时，函数y=x

1

3

为增函数，y=x-

1

3

为减函数，
∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f（x）为增函数，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
（2）f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x²）-5f（x）•g（x）=0，
下面给予证明：∵f（x²）-5f（x）•g（x）=

x 2 3 -x- 2 3

5

-5×

x 1 3 -x- 1 3

5

×

x 1 3 +x- 1 3

5

=

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)-

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)=0，
∴f（x²）-5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明及归纳推理，其中熟练掌握函数性质的定义及判断方法是解答本题的关键．