Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=8，|$\overrightarrow{b}$|=15．
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=17，则表示$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的有向线段所在的直线所成的角是多少？

Answer 1

分析 （1）运用两向量模的不等式||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，即可得到所求范围；
（2）可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=17，两边平方计算即可得到$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．

解答 解：（1）由||$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$||≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，
即有7≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤23，
即为|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的取值范围无[7，23]；
（2）由于|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=17，|$\overrightarrow{a}$|=8，|$\overrightarrow{b}$|=15，
可设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{{8}^{2}+1{5}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=17，
解得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，即有$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
即有表示$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的有向线段所在的直线所成的角是90°．

点评 本题考查向量的模的不等式和向量的加减运算和数量积的性质，属于中档题．