Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前2011项的和．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），可得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可证明．
（2）由（1）可得：${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），∴S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，首项为2，公差为2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴数列{a_n}的前2011项的和=$\frac{1}{2×2011}$=$\frac{1}{4022}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．