Question

20．设f（x）=（m+1）x²+2mx+1．问：
（1）当m取何值时，f（x）为偶函数？
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的范围；
（3）若不等式f（x）≥0的解集是R．求m的范围．

Answer 1

分析 （1）可假设f（x）为偶函数，便有f（-x）=f（x），然后根据多项式相等时，对应项系数相等即可得出m值；
（2）先判断f（x）是否为二次函数，从而判断m=-1和m≠-1：m=-1时容易判断不合条件，而m≠-1时，原函数便是二次函数，这样需满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$，解该不等式组即得m的范围；
（3）讨论过程同（2），可判断m≠-1，并且m要满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，从而解该不等式组即可得出m的范围．

解答 解：（1）若f（x）为偶函数，则：f（-x）=（m+1）x²-2mx+1=（m+1）x²+2mx+1；
∴-2m=2m；
∴m=0；
即m=0时，f（x）为偶函数；
（2）①若m=-1，则f（x）=-2x+1，该函数在[1，+∞）上是减函数，即这种情况不存在；
②若m≠-1，若f（x）在[1，+∞）上为增函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$；
解得$m≥-\frac{1}{2}$；
∴m的范围为$[-\frac{1}{2}，+∞）$；
（3）①若m=-1，f（x）=-2x+1，显然，f（x）≥0的解集不会是R，不满足条件；
②若m≠0，若不等式f（x）≥0的解集为R，则：
$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{△=4{m}^{2}-4（m+1）≤0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤m≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴m的范围为：[$\frac{1-\sqrt{5}}{2}，\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．

点评 考查偶函数的定义及判断方法和过程，一次函数的单调性，二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及二次函数f（x）≥0恒成立时要满足的条件．