Question

8．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值范围；
（2）该函数的图象可以由y=sinx的图象怎样变换得到？

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，易得最大值和x的取值；
（2）把y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再把横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，最后把图象整体向上平移1个单位即可得到．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1-cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∴函数的最大为2，
当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）时取到；
（2）把y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的图象，
再把横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$得到y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
再把y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象整体向上平移1个单位得到．

点评 本题考查三角函数的图象变换和三角函数的最值，属基础题．