Question

13．已知如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．
（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．
②分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；
当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ²=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+2=0}\\{36a+6b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{9}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线的函数表达式是y=$\frac{1}{9}$x²-x+2．
（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式是y=kx+h．
则有$\left\{\begin{array}{l}{6k+h=0}\\{h=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{h=2}\end{array}\right.$．
∴直线BC的函数表达式是y=-$\frac{1}{3}$x+2．
∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，
∴PQ=y_Q-y_P=（-$\frac{1}{3}$x+2）-（$\frac{1}{9}$x²-x+2）
=-$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x
=-$\frac{1}{9}$（x-3）²+1
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．
②解：当∠OAQ′=90°时，点P与点A重合，
∴P（3，0）
当∠Q′OA=90°时，点P与点C重合，
∴x=0（不合题意）
当∠OQ′A=90°时，
设PQ′与x轴交于点D．
∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，
∴∠OQ′D=∠Q′AD．
又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，
∴△ODQ′∽△Q′DA．
∴$\frac{DQ'}{OD}$=$\frac{DA}{DQ'}$，即DQ′²=OD•DA．
∴（-$\frac{1}{3}$x+2）²=x（3-x），
10x²-39x+36=0，
∴x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{12}{5}$，
∴y₁=$\frac{1}{9}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$+2=$\frac{3}{4}$；
y₂=$\frac{1}{9}$×（$\frac{12}{5}$）²-$\frac{12}{5}$+2=$\frac{6}{25}$；
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{25}$）．
∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或P（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{25}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，用数形结合的思想来求解是解题的基本思路．