Question

14．设f（x）在R上是偶函数，在（-∞，0）上递减，若 f（a²-2a+3）＞f（a²+a+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先根据函数是定义在R上的偶函数，利用不等式 f（a²-2a+3）＞f（a²+a+1），根据f（x）在R上是减函数，去函数符号，再解关于a的二次不等式即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又a²-2a+3=（a-1）²+2＞0，a²+a+1=（a+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$＞0，f（a²-2a+3）＞f（a²+a+1），
∴a²-2a+3＞a²+a+1，即3a＜2，
解得a$＜\frac{2}{3}$，
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合运用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，属中档题．