Question

19．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）．
（1）证明：f（x）在区间（0，1]上是单调减函数，在区间[1，+∞）上是单调增函数；
（2）试求函数f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，从而判断导数的正负以确定函数的单调性；
（2）由函数的单调性确定函数的最值．

解答 解：（1）证明：∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（0，1]上是单调减函数，在区间[1，+∞）上是单调增函数；
（2）由（1）知，f（x）有最小值，无最大值；
f_min（x）=f（1）=1+1=2．

点评 本题考查了导数的综合应用，属于中档题．