Question

10．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n}$，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{2n}{n+2}$．

Answer 1

分析 通过等差数列的求和公式可知a_n=$\frac{n+1}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加、计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{1+2+3+…+n}{n}$=$\frac{n（n+1）}{2n}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴所求值为4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2n}{n+2}$，
故答案为：$\frac{2n}{n+2}$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．