Question

（2013•河西区一模）若f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

• A．(1，

  2

  ]
• B．[-

  2

  ，-1)∪[

  2

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  2

  ]∪(1，

  2

  ]
• D．(0，

  2

  3

  )∪[

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：当函数单调性是增函数时，相应二次函数图象为开口向上的抛物线且指数型函数的系数大于0，并且在x=0时，二次函数对应的值大于或等于指数型函数对应的值．由此建立关于a的方程组并解之，即可得到实数a的范围，同样的方法可得函数的单调性是减函数时实数a的取值范围，最后综合可得本题的答案．

解答：解：f（x）在定义域（-∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-

2

≤a≤

2

∵x≥0时，y=ax²+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a＜

2

②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-

2

或a≥

2

．
∵x≥0时，y=ax²+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a＜-

2

综上所述，得a∈(-∞，-

2

]∪(1，

2

]
故选：C

点评：本题以分段函数为例，求函数为单调函数时参数a的范围，着重考查了二次函数、指数函数等基本初等函数的单调性及单调区间等知识，属于中档题．