Question

9．设命题p：函数f（x）=x+a在（-1，0）上存在零点，命题q：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3a，x＞2}\\{x+2{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$的值域为R．
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∧（￢q）是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用一次函数的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＞0}\\{f（-1）=-1+a＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．对于命题q：由一次函数的单调性可得：4-3a≤2+2a²，解得a范围．再利用复合命题真假的判定方法可得（1）（2）中的a的范围．

解答 解：命题p：函数f（x）=x+a在（-1，0）上存在零点，则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＞0}\\{f（-1）=-1+a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1．
命题q：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3a，x＞2}\\{x+2{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$的值域为R，由一次函数的单调性可得：4-3a≤2+2a²，解得a≥$\frac{1}{2}$或a≤-2．
（1）若命题p是真命题，则实数a的取值范围是（0，1）；
（2）若p∧（￢q）是真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{-2＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，∴实数a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．