Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=$\frac{π}{3}$，且（sinA-sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=$\frac{3}{7}$sinBsinC．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知等式，利用正弦定理可得a²-b²-c²=-$\frac{11}{7}$bc，由余弦定理可得：cosA，可求sinA，从而利用cosC=-cos（A+B）即可得解．
（Ⅱ）先求sinC，由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵B=$\frac{π}{3}$，且（sinA-sinB+sinC）（sinA+sinB-sinC）=$\frac{3}{7}$sinBsinC．
∴sin²A-（sinB-sinC）²=$\frac{3}{7}$sinBsinC．
∴sin²A-（sin²B+sin²C-2sinBsinC）=$\frac{3}{7}$sinBsinC．
∴由正弦定理可得：a²-b²-c²=-$\frac{11}{7}$bc．
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{11}{14}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{11}{14}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{7}$．
（Ⅱ）∵a=5，sinA=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，B=$\frac{π}{3}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×5×7×$$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．