Question

5．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=$\sqrt{1-{3}^{x}}$；
（2）y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$；
（3）y=（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\sqrt{-|x|}}$．

Answer 1

分析 （1）解不等式1-3^x≥0即可得出该函数的定义域，而由0≤1-3^x≤1即可得出该函数的值域；
（2）定义域显然为{x|x≠4}，根据$\frac{1}{x-4}≠0$及指数函数的值域即可得出该函数的值域；
（3）要使原函数有意义，显然x=0，从而便可写出该函数的定义域、值域．

解答 解：（1）解1-3^x≥0得，x≤0；
∴该函数的定义域为（-∞，0]；
∵3^x＞0；
∴1-3^x＜1，且1-3^x≥0；
∴0≤y＜1；
∴该函数的值域为：[0，1）；
（2）定义域为{x|x≠4}；
∵$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x-4}}＞0$，且${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$；
∴该函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}；
（3）要使原函数有意义，则x=0；
∴该函数的定义域为{0}，值域为{1}．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，以及指数函数的值域，指数函数的单调性．