Question

2．求下列函数的定义域、值域：
（1）y=4^x+2^x+1+1；
（2）y=（$\frac{1}{2}$）$\sqrt{{-x}^{2}+4}$．

Answer 1

分析 （1）该函数定义域显然为R，然后可将该函数变成y=（2^x+1）²，根据2^x＞0便可求出（2^x+1）²的范围，即求出该函数的值域；
（2）可以看出要使该函数有意义，需满足-x²+4≥0，解该不等式即可得出原函数的定义域，然后由0≤-x²+4≤4并根据指数函数的单调性即可得出该函数的值域．

解答 解：（1）定义域为R；
y=4^x+2^x+1+1=（2^x+1）²；
∵2^x＞0；
∴2^x+1＞1；
∴（2^x+1）²＞1；
即y＞1；
∴该函数的值域为：（1，+∞）；
（2）要使原函数有意义，则：-x²+4≥0；
∴-2≤x≤2；
∴该函数的定义域为：[-2，2]；
∵0≤-x²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}+4}≤2$；
∴$\frac{1}{4}≤（\frac{1}{2}）^{\sqrt{-{x}^{2}+4}}≤1$；
∴该函数的值域为：[$\frac{1}{4}，1$]．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，配方处理二次式子的方法，指数函数的值域，以及指数函数的单调性．