Question

12．设函数f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求得函数的单调区间即可；
（2）求导，函数f（x）在[1，2]上单调递增，可得a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立，只需求$\frac{1}{x}$-2x的最大值即可．

解答 解：（1）当a=1时
f（x）=x²+x-lnx
∴f'（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$
=$\frac{（x+1）（2x-1）}{x}$
∴当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
（2）f'（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$
函数f（x）在[1，2]上单调递增，
∴a≥$\frac{1}{x}$-2x恒成立
令g（x）=$\frac{1}{x}$-2x，则g'（x）=-$\frac{（2{x}^{2}+1）}{{x}^{2}}$＜0
g（x）≤g（1）=-1
∴a≥-1．

点评 考察了导函数的利用和恒成立问题的转换，属于常规题型，应熟练掌握．