Question

20．运货卡车以每小时x千米（x∈[c，100]，且c为正常数）的速度匀速行驶m千米（m为正常数），假设汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油（6+$\frac{{x}^{2}}{800}$）升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）求当x为何值时，这次行车的总费用最低．

Answer 1

分析 （1）通过行车总费用包含油费与司机的工资两部分，列出表达式即可；
（2）通过x∈[c，100]，利用基本不等式可知$\frac{8}{x}$+$\frac{x}{800}$≥$\frac{1}{5}$（当且仅当$\frac{8}{x}$=$\frac{x}{800}$即x=80时取等号），进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，行车总费用包含油费与司机的工资两部分，
则y=$\frac{m}{x}$•14+$\frac{m}{x}$•（6+$\frac{{x}^{2}}{800}$）•7
=7m（$\frac{8}{x}$+$\frac{x}{800}$）；
（2）∵x∈[c，100]，
∴$\frac{8}{x}$+$\frac{x}{800}$≥2$\sqrt{\frac{8}{x}•\frac{x}{800}}$=$\frac{1}{5}$，当且仅当$\frac{8}{x}$=$\frac{x}{800}$即x=80时取等号，
∴当x=80时这次行车的总费用最低为$\frac{7}{5}$m．

点评 本题函考查数模型的选择与应用，主要考查函数模型的构建及解决最低费用问题，关键是实际问题向数学问题的转化，同时考查利用基本不等式求最值，注意解题方法的积累，属于中档题．