Question

已知函数f（x）的定义域为，且满足f（2）=1，f（xy）＝f（x）+f（y）．

（1）求f（1），f（4）， f（8）的值；

（2）证明：

（3）函数f（x）当时都有．若成立，求的取值范围

Answer 1

（1），，;（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）抓住所给条件应用赋值法求函数值问题；（2）有关函数式子的变形问题；（3）应用所给条件判断函数的单调性，从而应用函数的单调性，转化不等式，注意函数的定义域优先原则．

试题解析：（1）由且，令∴得，

∴,

（2）由知，，．

（3）∵当，∈（0，+∞）时都有．

∴函数在（0，+∞）为增函数，由，化为，

则 ∴．

考点：1．有关抽象函数的函数值求解问题；2．应用所给条件判断函数值之间的关系；3．根据题的条件判断出函数的单调性，从而应用函数的单调性，转化不等式；4．定义域优先原则的，即要想研究函数的性质，显得保证函数的生存权．