Question

已知幂函数f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数（x）．

Answer 1

分析：根据幂函数的性质，由在（0，+∞）上是增函数可知，指数大于零，再由在其定义域内是偶函数验证求解．

解答：解：∵幂函数f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函数，
所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，
解得-1＜p＜3．
又由p∈Z，
所以p=0、1、2．
当p=0时，f（x）=x

3

2

，不是偶函数，不符合题意；
当p=1时，f（x）=x²，是偶函数，符合题意；
当p=2时，f（x）=x

3

2

，不是偶函数，不符合题意．
故p=1，对应的函数为f（x）=x²．

点评：本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，关键是抓住在第一象限内的图象和性质，相关的第二象限、第三象限可由奇偶性来推之．