Question

已知函数的定义域为R，其导数满足0＜＜1．设a是方程＝x的根．
（Ⅰ）当x＞a时，求证：＜x；
（Ⅱ）求证：|－|＜|x₁－x₂|（x₁，x₂∈R，x₁≠x₂）；
（Ⅲ）试举一个定义域为R的函数，满足0＜＜1，且不为常数．

Answer 1

同解析

（Ⅰ）令g(x)=f(x) －x，则g`(x)=f `(x) －1<0．故g(x)为减函数，
又因为g(a)=f(a）－a=0，所以当x>a时，g(x)＜g(a)=0，
所以f(x) －x＜0，即<x．                                       5分
（Ⅱ）不妨设x₁＜x₂，由（Ⅰ）知g(x)为减函数，
所以 g(x₂)＜g(x₁)，即f(x₂)－x₂＜f(x₁)－x₁
所以 f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁；又因为＞0，所以为增函数，
所以0＜f(x₂)－f(x₁)＜x₂－x₁，所以|－|＜|x₁－x₂|．           11分
（Ⅲ）本小题没有统一的答案，满足题设条件的函数有无穷多个．
如f(x)=.                                                  16分