Question

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=(1+)a_n+(n≥1).

(1)用数学归纳法证明a_n≥2(n≥2);

(2)已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立,证明a_n＜e²(n≥1),其中无理数e=2.718 28….

Answer 1

剖析:本题第二问中a_n不能求出,直接比较a_n与e²的大小不行,且是与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法.

证明:(1)①当n=2时,a₂=2≥2,不等式成立.

    ②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即a_k≥2(k≥2),那么a_k+1=［1+］a_k+≥2,

这就是说,当n=k+1时不等式成立.

    根据①②可知a_n≥2对所有n≥2成立.

    (2)由递推公式及(1)的结论有

    a_n+1=(1+)a_n+≤(1++)a_n(n≥1).两边取对数并利用已知不等式得

    lna_n+1≤ln(1++)+lna_n≤lna_n++.

    故lna_n+1-lna_n≤+(n≥1).

    上式从1到n-1求和可得

    lna_n-lna₁≤++…++++…+=1-+(-)+…+-+·=1-+1-＜2,

    即lna_n＜2,故a_n＜e²(n≥1).