【题目】如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.
(1)求证:EF⊥BC;
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先证明BC⊥平面EFO,即证EF⊥BC.(2)利用向量法求二面角E-BF-C的正弦值.
(1)证明:如图,过E作EO⊥BC,垂足为O,连接OF,
由题意得△ABC≌△DBC,可证出△EOC≌△FOC,
所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC,
又EO⊥BC,EO∩FO=O,
因此BC⊥平面EFO.又EF平面EFO,
所以EF⊥BC.
(2)证明:由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(
,-1,0),C(0,2,0),
因而E(0,,
), F(
,
,0),
由题得平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z),
又=(
,
,0),
=(0,
,
),由
得其中一个n2=(1,-,1).
设二面角E-BF-C的大小为θ,且由题意知θ为锐角,
则cos θ=|cos〈n1,n2〉|==
,
因此sin θ==
,即二面角E-BF-C的正弦值为
.
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【题目】二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
… | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | m | … |
(1)m= ;
(2)在图中画出这个二次函数的图象;
(3)当时,x的取值范围是 ;
(4)当时,y的取值范围是 .
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【题目】农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高,得到的数据如下(单位:cm):
甲:9,10,11,12,10,20;
С:8,14,13,10,12,21.
(1)选择合适的统计图表表示上述数据;
(2)分别计算两组数据的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
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【题目】,
两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:
组:10,11,12,13,14,15,16
组:12,13,15,16,17,14,
假设所有病人的康复时间互相独立,从,
两组随机各选1人,
组选出的人记为甲,
组选出的
人记为乙.
(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;
(Ⅱ)如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;
(Ⅲ)当为何值时,
,
两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)
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【题目】某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | ||
未参加演讲社团 |
(1)从该班随机选名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中,有5名男同学
名女同学
现从这
名男同学和
名女同学中各随机选
人,求
被选中且
未被选中的概率.
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【题目】设数列的前
项和
,
(1)求数列的通项公式;
(2)令,记数列
前n项和为
,求
;
(3)利用第二问结果,设是整数,问是否存在正整数n,使等式
成立?若存在,求出
和相应的
值;若不存在,说明理由.
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【题目】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表.
身高/ | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
体重/ | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 | 20.92 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 47.25 | 55.05 |
(1)根据表格提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高
的函数关系?试写出这个函数模型的关系式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为,体重为
的在校男生的体重是否正常?
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【题目】以下命题,①若实数,则
.
②归纳推理是由特殊到一般的推理,而类比推理是由特殊到特殊的推理;
③在回归直线方程中,当变量
每增加一个单位时,变量
一定增加0.2单位.
④“若,则复数
”类比推出“若
,则
”;
正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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