Question

已知函数f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

（w＞0）的周期为π．
（1）求f（x）的解析式并求其单调递增区间；
（2）将f（x）的图象先向下平移1个单位长度；再向左平移μ（μ＞0）个单位．得到函数h（x）的图象，若H（X）为奇函数，求μ的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

）+1，周期为π，即可解得ω的值，从而求得f（x）的解析式并求其单调递增区间；
（2）先由图象变换的规律解得g（x）的解析式，再由奇函数的性质得g（0）=0可求ϕ的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+2

3

cos²

wx

2

+1-

3

=sinωx+

3

+

3

cosωx+1-

3

=2sin（ωx+

π

3

）+1
∵T=

2π

ω

=π
∴ω=2．
故f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
故单调递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．
（2）由（1）可知：将f（x）的图象先向下平移1个单位得函数y=2sin（2x+

π

3

）的图象，
再向左平移μ（μ＞0）个单位得g（x）的图象，则g（x）=2sin[2（x+μ）+

π

3

]，若g（x）为奇函数，
则g（0）=2sin（2μ+

π

3

），即2μ+

π

3

=kπ，（k∈Z），又μ＞0，故μ的最小值为

π

3

．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，为三角函数的综合应用，涉及奇函数的特点，属于基本知识的考查．属于中档题．