Question

15．已知直线y=x+2与圆x²+y²=6相交的弦长等于椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，抛物线C：y²=4x
（1）求该椭圆的方程；
（2）经过椭圆的右焦点F作互相垂直的直线分别交曲线C及椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）于点M，N，A，B四点，其中M，N在抛物线C上，A，B在椭圆上，试求$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原点到直线的距离，由圆的弦长公式可得2a=4，即a=2，由离心率可得c=1，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得弦长的比为1；再由直线y=k（x-1），代入抛物线的方程y²=4x，运用韦达定理和弦长公式，求得|MN|，再由直线y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入椭圆方程3x²+4y²-12=0，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，化简整理，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）由圆心（0，0）到直线y=x+2的距离为d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得弦长为2$\sqrt{6-2}$=4，
由题意可得2a=4，即a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=1，b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）当互相垂直的直线一条斜率为0，另一条不存在，
可得|MN|=|AB|=4，即有$\frac{|AB|}{|MN|}$=1；
设互相垂直的直线中一条为y=k（x-1），代入抛物线的方程y²=4x，
可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
即有弦长|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
将直线y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入椭圆方程3x²+4y²-12=0，
可得（4+3k²）x²-8x+4-12k²=0，
即有x₃+x₄=$\frac{8}{4+3{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4-12{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
弦长|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{64}{（4+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{16-48{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
即有$\frac{|AB|}{|MN|}$=$\frac{3{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{3+\frac{4}{{k}^{2}}}$∈（0，1）．
综上可得，$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查弦长的求法，注意运用联立直线方程和曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．