Question

5．在△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，若$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$等于12．

Answer 1

分析 由直角三角形的余弦函数可得cosA，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：在△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，
可得cosA=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
由$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{CB}$，可得
$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BD}$，即$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{BD}$，
即为$\overrightarrow{AD}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=（$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{5}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=
$\frac{3}{2}$×9+1-$\frac{5}{2}$×3×1×$\frac{1}{3}$=12．
故答案为：12．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，以及共线向量定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．