Question

16．已知命题p：方程x²-2mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：函数f（x）=log_mx，满足f（2m²+1）＞f（5m-1），如果p或q为真命题，p且q为假命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程x²-2mx+1=0有两个不等的正实数根，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{2m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m．命题q：对m分类讨论，利用函数f（x）=log_mx的单调性即可得出．如果p或q为真命题，p且q为假命题，可得p与q必然一真一假，

解答 解：命题p：方程x²-2mx+1=0有两个不等的正实数根，则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{2m＞0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，解得m＞1．
命题q：当0＜m＜1时，函数f（x）=log_mx单调递减，∵f（2m²+1）＞f（5m-1），∴0＜2m²+1＜5m-1，解得0＜m＜1．
当1＜m时，函数f（x）=log_mx单调递增，∵f（2m²+1）＞f（5m-1），∴2m²+1＞5m-1＞0，解得m＞$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$．
综上可得：0＜m＜1或m＞$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$．
如果p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≤0，或1≤m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{0＜m＜1或m＞\frac{5+\sqrt{41}}{4}}\end{array}\right.$．
解得$1＜m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，或0＜m＜1．
∴m的取值范围是$0＜m≤\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，且m≠1．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．