Question

15．若f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f（0）=$\sqrt{2}$，则（　　）

• A． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$单调递增
• B． f（x）在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$单调递减
• C． f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$单调递增
• D． f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$单调递减

Answer 1

分析 由周期求出ω，由f（0）=$\sqrt{2}$求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+ϕ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）
的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，可得ω=2．
再根据 $f（0）=\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$sin（ϕ+$\frac{π}{4}$），可得sin（ϕ+$\frac{π}{4}$）=1，ϕ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故可取ϕ=$\frac{π}{4}$，y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
在$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上，2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），函数f（x）=$\sqrt{2}$cos2x 没有单调性，故排除A、B；
在$（0，\frac{π}{2}）$上，2x∈（0，π），函数f（x）=$\sqrt{2}$cos2x 单调递减，故排出C，
故选：D．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f（0）=$\sqrt{2}$求出φ的值；余弦函数的单调性，属于基础题．