Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右顶点为A，渐近线为l₁，l₂，点P为双曲线C的动点（与点A不重合），过点P作l₁的平行线交l₂于M，直线AP交l₂于N，则|MN|=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 求出双曲线的右顶点和渐近线方程，由两直线平行的条件可得l₁的平行线，联立方程，求得交点M，N，再由$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右顶点为（4，0），
渐近线方程为l₁：y=$\frac{3}{4}$x，l₂：y=-$\frac{3}{4}$x，
设P（m，n），即有9m²-16n²=144，
过点P作l₁的平行线为y=$\frac{3}{4}$（x-m）+n，
联立直线l₂的方程，可得M（$\frac{3m-4n}{6}$，-$\frac{3m-4n}{8}$），
由直线AP的方程y=$\frac{n}{m-4}$（x-4），
联立直线l₂的方程，可得N（$\frac{16n}{4n+3m-12}$，-$\frac{12n}{4n+3m-12}$），
即有|MN|=$\sqrt{1+\frac{9}{16}}$•|$\frac{3m-4n}{6}$-$\frac{16n}{4n+3m-12}$|
=$\frac{5}{4}$•|$\frac{9{m}^{2}-16{n}^{2}-36m-48n}{6（4n+3m-12）}$|
=$\frac{5}{4}$•|$\frac{12（12-3m-4n）}{6（4n+3m-12）}$|=$\frac{5}{4}$•2=$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查两直线的交点的求法，属于中档题．