Question

3．设F（-c，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作直线l与双曲线左、右两支分别交于点A、B，其中B点的横坐标为$\frac{c}{2}$，若$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，且λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，则双曲线的离心率e的取值范围是[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 将x=$\frac{c}{2}$代入双曲线的方程，可得B的坐标，求得直线AB的斜率k，直线AB的方程为y=k（x+c），代入双曲线的方程运用韦达定理，求得A的横坐标，再由向量共线的坐标表示，根据λ的范围解不等式求得e的范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率e=$\frac{c}{a}$，
将x=$\frac{c}{2}$代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，
设B（$\frac{c}{2}$，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
可得直线AB的斜率为k=$\frac{2b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{3c}$，①
由直线AB的方程为y=k（x+c），代入双曲线的方程，可得
（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²k²c²-a²b²=0，
可得$\frac{c}{2}$•x_A=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-{b}^{2}}$，
代入①可得，x_A=$\frac{{c}^{3}+5{a}^{2}c}{-2{a}^{2}-4{c}^{2}}$，
由$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，可得x_A+c=λ（$\frac{c}{2}$-x_A），
即有λ=$\frac{{x}_{A}+c}{\frac{c}{2}-{x}_{A}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{c}^{2}+2{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+2}$，
λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，可得$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+2}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
即1-$\frac{3}{{e}^{2}+2}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，
解得e²∈[7，10]，
即e∈[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．
故答案为：[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质、向量共线的坐标表示等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．