Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过点P（2，4）作圆O：x²+y²=20的切线l，直线l恰好过椭圆C的右顶点与上顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若圆O上的一点Q的切线l₁交椭圆C于A，B两点，试确定∠AOB的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的切线的性质求切线方程，从而写出顶点坐标，从而得到圆C的方程；
（Ⅱ）首先求斜率为0与不存在时的角，从而可得∠AOB=90°；从而猜想∠AOB=90°为定值；
（法一）设Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），从而由点斜式写出直线方程，从而与椭圆的方程联立化简求解；
（法二）设直线l₁的方程为：y=kx+b，从而与椭圆的方程联立化简求解．

解答 解：（Ⅰ）因为点P（2，4）在圆O：x²+y²=20上，
所以直线l⊥OP，
又因为直线OP的斜率为${k_{OP}}=\frac{4}{2}=2$，
所以直线l的方程为：$y-4=-\frac{1}{2}（x-2）$．
令y=0，可得x=10，所以椭圆C的右顶点坐标为（10，0）；
再令x=0，可得y=5，所以椭圆C的上顶点坐标为（0，5）．
所以a=10，b=5，因此，椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$．
（Ⅱ）（法一）若直线l₁的方程为：$x=2\sqrt{5}$，则$A（{2\sqrt{5}，2\sqrt{5}}），B（2\sqrt{5}，-2\sqrt{5}）$．
此时$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，故∠AOB=90°；
若直线l₁的方程为：$x=-2\sqrt{5}$，则$A（{-2\sqrt{5}，2\sqrt{5}}），B（-2\sqrt{5}，-2\sqrt{5}）$，
此时$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，故∠AOB=90°．
猜想∠AOB=90°为定值．
证明如下：
若直线l₁的斜率存在，设Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l₁的方程为：$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（x-{x_0}）$，
整理可得：x₀x+y₀y=20，
将$x=\frac{{20-{y_0}y}}{x_0}$代入椭圆方程可得，${（\frac{{20-{y_0}y}}{x_0}）^2}+4{y^2}=100$，
整理得，$（{y_0}^2+4{x_0}^2）{y^2}-40{y_0}y+400-100{x_0}^2=0$，
所以${y_1}{y_2}=\frac{{400-100{x_0}^2}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$．
将$y=\frac{{20-{x_0}x}}{y_0}$代入椭圆方程可得：${x^2}+4{（\frac{{20-{x_0}x}}{y_0}）^2}=100$，
整理得$（{y_0}^2+4{x_0}^2）{x^2}-160{x_0}x+1600-100{y_0}^2=0$，
所以${x_1}{x_2}=\frac{{1600-100{y_0}^2}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$．
故$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=$\frac{{400-100{x_0}^2}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}+\frac{{1600-100{y_0}^2}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$
=$\frac{{400-100{x_0}^2+1600-100{y_0}^2}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$
=$\frac{{2000-100（{x_0}^2+{y_0}^2）}}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$=$\frac{2000-100•20}{{{y_0}^2+4{x_0}^2}}$=0．
所以∠AOB=90°为定值．
（法二）若直线l₁的方程为：$x=2\sqrt{5}$，则$A（{2\sqrt{5}，2\sqrt{5}}），B（2\sqrt{5}，-2\sqrt{5}）$．
此时$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，故∠AOB=90°；
若直线l₁的方程为：$x=-2\sqrt{5}$，则$A（{-2\sqrt{5}，2\sqrt{5}}），B（-2\sqrt{5}，-2\sqrt{5}）$，
此时$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，故∠AOB=90°．
猜想∠AOB=90°为定值．
证明如下：
若直线l₁的斜率存在，设直线l₁的方程为：y=kx+b．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\ \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-100=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-100}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}+{x_2}=\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}$，
又因为y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
则${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+kb（{x_1}+{x_2}）+{b^2}$
=${k^2}•\frac{{4{b^2}-100}}{{1+4{k^2}}}+kb•\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}+{b^2}$
=$\frac{{4{k^2}{b^2}-100{k^2}-8{k^2}{b^2}+{b^2}+4{k^2}{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$=$\frac{{{b^2}-100{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=$\frac{{4{b^2}-100}}{{1+4{k^2}}}+\frac{{{b^2}-100{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$=$\frac{{5{b^2}-100（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}$．
因为直线l₁与圆O相切，所以$\frac{|b|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{20}$，即b²=20（1+k²）．
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{{5•20（1+{k^2}）-100（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}=0$，
故∠AOB=90°为定值．

点评 本题考查了空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等．