Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，椭圆的上顶点为D，右焦点为F₂，延长DF₂交椭圆于E，且满足|DF₂|=3|F₂E|，椭圆的右焦点与抛物线y²=4x的焦点重合．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过点F₂的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为坐标原点，且满足$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆的上顶点为D（0，b），右焦点F₂（1，0），E点的坐标为（x，y），由|DF₂|=3|F₂E|，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），当直线l的斜率为0时，其方程为y=0，满足题意；当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为x=my+1，联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.，得（{m^2}+2）{y^2}+2my-1=0$，由此利用韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）椭圆的上顶点为D（0，b），右焦点F₂（1，0），E点的坐标为（x，y），
∵|DF₂|=3|F₂E|，∴$\overrightarrow{D{F_2}}=3\overrightarrow{{F_2}E}$，$\overrightarrow{D{F_2}}=（1，-b），\overrightarrow{{F_2}E}=（x-1，y）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{b}{3}}\end{array}}\right.$，代入椭圆的方程，得$\frac{{{{（\frac{4}{3}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（-\frac{b}{3}）}^2}}}{b^2}=1$，∴a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
①当直线l的斜率为0时，其方程为y=0，
其中$A（-\sqrt{2}，0），B（\sqrt{2}，0），\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=（-\sqrt{2}，0）$，
满足题意，即直线y=0为所求的一条直线．
②当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为x=my+1，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.，得（{m^2}+2）{y^2}+2my-1=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+2}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{-1}{{{m^2}+2}}}\end{array}}\right.$，（1）
∵$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，且点C在椭圆上，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_3}=2{x_1}+3{x_2}}\\{{y_3}=2{y_1}+3{y_2}}\end{array}}\right.$，∴$\frac{{{{（2{x_1}+3{x_2}）}^2}}}{2}+{（2{y_1}+3{y_2}）^2}=1$，
∴$（{m^2}+2）{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1=-\frac{11}{12}$，（2）
把（1）代入（2），得-1-$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+1=-$\frac{11}{12}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{286}}{13}$，
∴所求的直线的方程为$y=0，x=±\frac{{\sqrt{286}}}{13}y+1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量知识、椭圆性质的合理运用．