Question

15．已知双曲线C的顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率$e=\frac{5}{4}$．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（3，0）且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线方程的标准形式，利用代定系数法求解即可；
（2）把直线方程和曲线方程联立得（9-16k²）x²+96k²x-144（k²+1）=0，对二次项系数分类讨论，再结合二次函数的性质求解．

解答 解：（1）设双曲线C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
∴2a=8，$\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$
所以a=4，c=5，b=3，
∴双曲线C的标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
（2）直线方程为y=k（x-3）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\\ y=k（x-3）\end{array}\right.$得（9-16k²）x²+96k²x-144（k²+1）=0，
①9-16k²=0，即$k=\frac{3}{4}$或$k=-\frac{3}{4}$时，直线与双曲线有且仅有一个公共点，
②9-16k²≠0，、
∴△=（96k²）²+4×144（9-16k²）（k²+1）=0，
∴7k²-9=0，
∴$k=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$或$k=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$…（9分）
综上所述，$k=\frac{3}{4}$或$k=-\frac{3}{4}$或$k=\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$或$k=-\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了双曲线标准方程的求解和直线与曲线的位置关系，属于基础题型，应熟练掌握．