Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为$\sqrt{3}$x-y=0，它的一个焦点在抛物线y²=4x的准线上．
（Ⅰ）求此双曲线方程；
（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的方程和渐近线方程的关系，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，由抛物线的准线方程可得c=1，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（Ⅱ）求出抛物线焦点，运用点到直线的距离公式可得球的半径，由球的表面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由一条渐近线为$\sqrt{3}$x-y=0，可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
又一个焦点在抛物线y²=4x的准线上，可得：
c=1，即a²+b²=1，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则双曲线的方程为4x²-$\frac{4}{3}$y²=1；
（Ⅱ）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
由球与双曲线渐近线相切，可得：
半径r=$\frac{|\sqrt{3}-0|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得球的表面积为S=4πr²=4π•$\frac{3}{4}$=3π．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的性质，考查球的表面积的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．